los 4 casos de factorización

06.12.2013 19:22

En matemáticas, la factorización es una técnica que consiste la descomposición de una expresión matemática (que puede ser un número, una suma, una matriz, un polinomio, etc) en forma de producto. Existen diferentes métodos de factorización, dependiendo de los objetos matemáticos estudiados; el objetivo es simplificar una expresión o reescribirla en términos de «bloques fundamentales», que recibe el nombre de factores, como por ejemplo un número en números primos, o un polinomio en polinomios irreducibles.

El teorema fundamental de la aritmética cubre la factorización de números enteros, y para la factorización de polinomios, el teorema fundamental del álgebra. La factorización de números enteros muy grandes en producto de factores primos requiere de algoritmos sofisticados, el nivel de complejidad de tales algoritmos está a la base de la fiabilidad de algunos sistemas de criptografía asimétrica como el RSA.

En un cuerpo algebraicamente cerrado, se sabe que todo polinomio de grado 4 tiene cuatro raíces. Es el caso del cuerpo de los complejos, según el Teorema Fundamental del Álgebra.

El método siguiente permite obtener las cuatro raíces al mismo tiempo. Este método es llamado "método de Descartes", pues fue dado por el matemático francés René Descartes (1596-1650) en el año de 1637 en su célebre libro "La Geometría". Aunque existan diferentes métodos para resolver las ecuaciones cuárticas, algunos son: método de Ferrari, método de Descartes, método de Euler, método de Lagrange, método de Alcalá.

Caso I - Factor común

Sacar el factor común es añadir el literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes.

a^2+a b = a (a+b)
9a^2-12ab+15a^3b^2-24ab^3=3a(3a-4b+5a^2b^2-8b^3)

Factor común monomio

Factor común por agrupación de términos

ab + ac + ad = a ( b + c + d) \,
ax + bx + ay + by = a (x+y) + b (x+y) = (x+y)(a + b ) \, y si solo si el polinomio es 0 y el tetranomio nos da x.

Factor común polinomio

Primero hay que determinar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente). Se toma en cuenta aquí que el factor común no solo cuenta con un término, sino con dos.

un ejemplo:

5x^2(x-y) + 3x(x-y) +7(x-y) \,

Se aprecia claramente que se está repitiendo el polinomio (x-y), entonces ese será el factor común. El otro factor será simplemente lo que queda del polinomio original, es decir:

(5x^2 + 3x +7) \,

La respuesta es:

(5x^2+3x+7)(x-y) \,

En algunos casos se debe utilizar el número 1, por ejemplo:

5a^2(3a+b) +3a +b \,

Se puede utilizar como:

5a^2(3a+b) + 1(3a+b) \,

Entonces la respuesta es:

(3a+b) (5a^2+1) \,

Caso II - Factor común por agrupación de términos

Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos.

Un ejemplo numérico puede ser:

2y + 2j +3xy + 3xj\,

entonces puedes agruparlos de la siguiente manera:

= (2y+2j)+(3xy+3xj)\,

Aplicamos el caso I (Factor común)

= 2(y+j)+3x(y+j)\,
= (2+3x)(y+j)\,

Ejercicio # 2 del algebra am - bm + an - bn =(am-bm)+(an-bn) =M(a-b)+ n(a-b =(a-b)(m+n)

Caso III - Trinomio Cuadrado Perfecto

Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces cuadradas exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces del primero por el segundo. Para solucionar un Trinomio Cuadrado Perfecto debemos reordenar los términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis, separándolos por el signo que acompaña al segundo término, al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado.

(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\,
(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2\,

Ejemplo 1:

(5x-3y)^2 = 25x^2-30xy+9y^2\,

Ejemplo 2:

(3x+2y)^2 = 9x^2+12xy+4y^2\,

Ejemplo 3:

(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2\,

Ejemplo 4:

4x^2+25y^2-20xy\,

Organizando los términos tenemos

4x^2 - 20xy + 25y^2\,

Extrayendo la raíz cuadrada del primer y último término y agrupándolos en un paréntesis separados por el signo del segundo término y elevando al cuadrado nos queda:

(2x - 5y)^2\,

Al verificar que el doble producto del primero por el segundo término es -20xy determinamos que es correcta la solución. De no ser así, esta solución no aplicaría.

Caso IV - Diferencia de cuadrados

Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma (a-b)(a+b), uno negativo y otro positivo.

(ay-bx)(ay+bx)= (ay)^2-(bx)^2 \,

O en una forma más general para exponentes pares:

(ay)^{2n}-(bx)^{2m}= ((ay)^n-(bx)^m)((ay)^n+(bx)^m)\,

Y utilizando una productoria podemos definir una factorización para cualquier exponente, el resultado nos da r+1 factores.

(ay)^n-(bx)^m= ((ay)^{n/{2^r}}-(bx)^{m/{2^r}})\cdot \prod_{i=1}^{r} ((ay)^{n/{2^i}}+(bx)^{m/{2^i}}) \,

Ejemplo 1:

9y^2-4x^2= (3y)^2-(2x)^2= (3y+2x)(3y-2x)\,

Ejemplo 2: Supongamos cualquier r, r=2 para este ejemplo.

(2y)^6-(3x)^{12}= ((2y)^{6/2^2}-(3x)^{12/2^2})\cdot\prod_{i=1}^{2} ((2y)^{6/{2^i}}+(3x)^{12/{2^i}})= \,
((2y)^{3/2^2}-(3x)^{12/2^2})\cdot((2y)^{3/2^2}+(3x)^{12/2^2})\cdot((2y)^{3/2}+(3x)^{12/2})= \,
((2y)^{3/4}-(3x)^{3})\cdot((2y)^{3/4}+(3x)^{3})\cdot((2y)^{3/2}+(3x)^{6}) \,
Volver